Question

設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)圓過，且圓心在曲線上，是圓在軸上截得的弦，試探究當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長是否為定值？為什么？

Answer 1

（1）曲線方程是

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長為定值4

解析:

（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線………………………………2分

　　　　∵      ∴　

∴　曲線方程是………4分

（2）設(shè)圓的圓心為，∵圓過，

∴圓的方程為　　……………………………7分

令得：　　

設(shè)圓與軸的兩交點(diǎn)分別為，

方法1：不妨設(shè)，由求根公式得

，…………………………10分

∴

又∵點(diǎn)在拋物線上，∴，

∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長為定值4…………………………………………………14分

　〔方法2：∵，　

∴

　又∵點(diǎn)在拋物線上，∴， ∴　　

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長為定值4〕