Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）+$\frac{1+a}{x}$的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=-$\frac{1+a}{x}$在[1，e]（e=2.71828…）上存在一點x₀，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，①a＞-1時，②a≤-1時，分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）轉(zhuǎn)化已知條件為函數(shù)h（x）在[1，e]上的最小值[h（x）]_min≤0，利用第（1）問的結(jié)果，通過①a≥e-1時，②a≤0時，③0＜a＜e-1時，分別求解函數(shù)的最小值，推出所求a的范圍．

解答 解：（1）h（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$，定義域為（0，+∞），
h′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）[x-（1+a）]}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a+1＞0，即a＞-1時，令h′（x）＞0，
∵x＞0，∴x＞1+a
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．
②當(dāng)a+1≤0，即a≤-1時，h′（x）＞0恒成立，
綜上：當(dāng)a＞-1時，h（x）在（0，a+1）上單調(diào)遞減，在（a+1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a≤-1時，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．                        
（2）由題意可知，在[1，e]上存在一點x₀，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，
即在[1，e]上存在一點x₀，使得h（x₀）≤0，
即函數(shù)h（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$在[1，e]上的最小值[h（x）]_min≤0．
由第（Ⅱ）問，①當(dāng)a+1≥e，即a≥e-1時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴[h（x）]min=h（e）=e+$\frac{1+a}{e}$-a≤0，∴a≥$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，
∵$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$＞e-1，∴a≥$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$；                 
②當(dāng)a+1≤1，即a≤0時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1+1+a≤0，
∴a≤-2，
③當(dāng)1＜a+1＜e，即0＜a＜e-1時，∴[h（x）]_min=h（1+a）=2+a-aln（1+a）≤0，
∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2
此時不存在x₀使h（x₀）≤0成立．            
綜上可得所求a的范圍是：a≥$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$或a≤-2．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，曲線的切線方程函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題得到能力．