Question

17．已知點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，B，C均為橢圓上的點(diǎn)，△ABC為以A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，這樣的三角形有三個(gè)，則橢圓離心率的范圍（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）．

Answer 1

分析 不妨設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1＞0），A（0，1），設(shè)出AB的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＞0），AC的方程為y=-$\frac{1}{k}$+1，利用直線與方程與橢圓方程聯(lián)立，利用等腰直角三角形ABC中的兩腰|AB|=|AC|，化簡(jiǎn)整理，借助二次方程的判別式大于0，求得a的取值范圍，再由離心率公式即可得到所求范圍．

解答 解：不妨設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1＞0），A（0，1），
不妨設(shè)l_AB：y=kx+1（k＞0），l_AC：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，得（1+a²k²）x²+2ka²x=0，…①
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x_A-x_B|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，
同理可得|AC|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{2{a}^{2}•\frac{1}{k}}{1+\frac{{a}^{2}}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2{a}^{2}}{{k}^{2}+{a}^{2}}$．
由|AB|=|AC|得，k³-a²k²+a²k-1=0，
即（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0，解得k=1或k²+（1-a²）k+1=0．
對(duì)于k²+（1-a²）k+1=0，
由題意可得△=（1-a²）²-4＞0，得a＞$\sqrt{3}$，
當(dāng)a＞$\sqrt{3}$時(shí)，方程k²+（1-a²）k+1=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．
∴當(dāng)a＞$\sqrt{3}$，即離心率e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$∈（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1），時(shí)，這樣的三角形有3個(gè)．
故答案為：（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1），

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、判別式與一元二次方程的實(shí)數(shù)根的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力、計(jì)算能力，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．