Question

【題目】橢圓規(guī)是用來(lái)畫(huà)橢圓的一種器械，它的構(gòu)造如圖所示，在一個(gè)十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導(dǎo)槽，在直尺上有兩個(gè)固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動(dòng)，在直尺上的點(diǎn)M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M的軌跡C是一個(gè)橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以?xún)蓷l導(dǎo)槽的交點(diǎn)為原點(diǎn)O，橫槽所在直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系.

（1）將以射線(xiàn)Bx為始邊，射線(xiàn)BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出C的普通方程；

（2）已知過(guò)C的左焦點(diǎn)F，且傾斜角為α（0≤α）的直線(xiàn)l1與C交于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于l1的直線(xiàn)l2與C交于G，H兩點(diǎn).當(dāng)，|GH|，依次成等差數(shù)列時(shí)，求直線(xiàn)l2的普通方程.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）用三角函數(shù)表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)l1的參數(shù)方程，與橢圓方程聯(lián)立利用直線(xiàn)參數(shù)的幾何意義求出、，根據(jù)題意有，列出方程求出直線(xiàn)l1的斜率即可求得直線(xiàn)l2的方程.

（1）設(shè)M（x，y）依題意得：x＝2cosφ，y＝sinφ，

所以M（2cosφ，sinφ），

由于cos2φ+sin2φ＝1，整理得.

（2）由于直線(xiàn)l1的傾斜角為α（），且l1⊥l2，

所以直線(xiàn)l2的傾斜角為，依題意易知：F（），

可設(shè)直線(xiàn)l1的方程為（t為參數(shù)），

代入得到：，

易知，

設(shè)點(diǎn)D和點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1和t2，

所以，.

則，

由參數(shù)的幾何意義：，

設(shè)G、H對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t3和t4，同理對(duì)于直線(xiàn)l2，將α換為，

所以，

由于，|GH|，依次成等差數(shù)列，

所以，則，解得，

所以，又，所以，

所以直線(xiàn)l2的斜率為，直線(xiàn)l2的直角坐標(biāo)方程為x.