【題目】隨著現(xiàn)代電子技術(shù)的迅猛發(fā)展，關(guān)于元件和系統(tǒng)可靠性的研究已發(fā)展成為一門新的學科——可靠性理論．在可靠性理論中，一個元件正常工作的概率稱為該元件的可靠性．元件組成系統(tǒng)，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性．現(xiàn)有（，）種電子元件，每種2個，每個元件的可靠性均為（）．當某元件不能正常工作時，該元件在電路中將形成斷路．現(xiàn)要用這個元件組成一個電路系統(tǒng)，有如下兩種連接方案可供選擇，當且僅當從A到B的電路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作．

（1）（i）分別寫出按方案①和方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性、（用和表示）；

（ii）比較與的大小，說明哪種連接方案更穩(wěn)定可靠；

（2）設(shè)，，已知按方案②建立的電路系統(tǒng)可以正常工作，記此時系統(tǒng)中損壞的元件個數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

【答案】（1）（i），（ii），按方案②建立的電路系統(tǒng)更穩(wěn)定可靠．（2）見解析，

【解析】

（1）（i）利用對立事件的概率公式計算，個元件串聯(lián)通路的概率是，而個元件并聯(lián)時不通的概率是，由此可計算可計算方案①和方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性、；（ii）作差后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可得其單調(diào)性從而得與的大小，得出結(jié)論；

（2）在方案②電路系統(tǒng)可以正常工作的條件下，元件損壞的概率是條件概率，可計算編號相同的兩個并聯(lián)元件中至多有一個損壞，且有一個損壞的條件概率為，由此可知，，依次計算出各概率，得分布列，再由二項分布計算出期望．

解：（1）（i）按方案①建立的電路系統(tǒng)的可靠性；

按方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性為；

（ii）．

令，且，則．

當時，，從而，所以在上單調(diào)遞增；

當時，，即．

所以，，按方案②建立的電路系統(tǒng)更穩(wěn)定可靠．

（2）在方案②電路系統(tǒng)可以正常工作的條件下，編號相同的兩個并聯(lián)元件中至多有一個損壞，且有一個損壞的條件概率為，由此可知，．

，，，

，；

所以，隨機變量的分布列為

0

1

2

3

4

．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)的極小值為，求的值；

（2）若，證明：當時，成立.

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知定點F（1，0），點A在x軸的非正半軸上運動，點B在y軸上運動，滿足0，A關(guān)于點B的對稱點為M，設(shè)點M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）已知點G（3，﹣2），動直線x＝t（t＞3）與C相交于P，Q兩點，求過G，P，Q三點的圓在直線y＝﹣2上截得的弦長的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E為PB中點．

（Ⅰ）求證：PD∥平面ACE；

（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；

（Ⅲ）求三棱錐E-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點F是拋物線的焦點，若點在拋物線C上，且

（1）求拋物線C的方程；

（2）動直線與拋物線C相交于兩點，問：在x軸上是否存在定點（其中），使得x軸平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近年來，國家為了鼓勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，出臺了許多優(yōu)惠政策，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)．某高校畢業(yè)生小李自主創(chuàng)業(yè)從事海鮮的批發(fā)銷售，他每天以每箱300元的價格購入基圍蝦，然后以每箱500元的價格出售，如果當天購入的基圍蝦賣不完，剩余的就作垃圾處理．為了對自己的經(jīng)營狀況有更清晰的把握，他記錄了150天基圍蝦的日銷售量（單位：箱），制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖．

（1）若小李一天購進12箱基圍蝦．

①求當天的利潤（單位：元）關(guān)于當天的銷售量（單位：箱，）的函數(shù)解析式；

②以這150天記錄的日銷售量的頻率作為概率，求當天的利潤不低于1900元的概率；

（2）以上述樣本數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù)，他計劃今后每天購進基圍蝦的箱數(shù)相同，并在進貨量為11箱，12箱中選擇其一，試幫他確定進貨的方案，以使其所獲的日平均利潤最大．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構(gòu)造如圖所示，在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動一周，則點M的軌跡C是一個橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以兩條導槽的交點為原點O，橫槽所在直線為x軸，建立直角坐標系.

（1）將以射線Bx為始邊，射線BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用表示點M的坐標，并求出C的普通方程；

（2）已知過C的左焦點F，且傾斜角為α（0≤α）的直線l1與C交于D，E兩點，過點F且垂直于l1的直線l2與C交于G，H兩點.當，|GH|，依次成等差數(shù)列時，求直線l2的普通方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，過定點的直線l與橢圓E相交于A，B兩點，C為橢圓的左頂點，當直線l過點時，（O為坐標原點）的面積為．

（1）求橢圓E的方程；

（2）求證：當直線l不過C點時，為定值．

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【題目】在“挑戰(zhàn)不可能”的電視節(jié)目上，甲、乙、丙三個人組成的解密團隊參加一項解密挑戰(zhàn)活動，規(guī)則是由密碼專家給出題目，然后由個人依次出場解密，每人限定時間是分鐘內(nèi)，否則派下一個人.個人中只要有一人解密正確，則認為該團隊挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.根據(jù)甲以往解密測試情況，抽取了甲次的測試記錄，繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）若甲解密成功所需時間的中位數(shù)為，求、的值，并求出甲在分鐘內(nèi)解密成功的頻率；

（2）在“挑戰(zhàn)不可能”節(jié)目上由于來自各方及自身的心理壓力，甲，乙，丙解密成功的概率分別為，其中表示第個出場選手解密成功的概率，并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替，各人是否解密成功相互獨立.

①求該團隊挑戰(zhàn)成功的概率；

②該團隊以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個人上場解密，求團隊挑戰(zhàn)成功所需派出的人員數(shù)目的分布列與數(shù)學期望.

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