Question

球O與單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各面都相切，P是球面O上一動點，AP與面ABCD所成角為α，則tanα的最大值為    ．AP的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：可根據(jù)幾何性質(zhì)來解決這個問題，球內(nèi)切于一個正方體，其直徑等于正方體的棱長，AP與平面ABCD所成的角為α，則α最大時，AP應(yīng)在面AC₁上，故作出對棱面，在平面中研究．
解答：解：由題意，球直徑與正方體邊長相等，
正方體邊長為1，球的半徑為，
由題意，要使AP與面ABCD所成角最大，則其在平面中的射影應(yīng)最小，從而可知P點在對棱面AA₁C₁C上時，AP與平面ABCD所成的角為α，如圖，截取對棱面AA₁C₁C，
由圖知tan =
故tanα===2
此時，AP長為球心到A的距離加上球的半徑，即
故答案為2 ，
點評：本題以正方體的內(nèi)切球為載體，考查正方體內(nèi)切球的幾何性質(zhì)，以及切線長、半徑、點心距組成的直角三角形．屬于位置關(guān)系直接轉(zhuǎn)化的題型．