Question

球O與單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各面都相切，P是球面O上一動(dòng)點(diǎn)，AP與面ABCD所成角為α，則tanα的最大值為    ．AP的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：可根據(jù)幾何性質(zhì)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，球內(nèi)切于一個(gè)正方體，其直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，AP與平面ABCD所成的角為α，則α最大時(shí)，AP應(yīng)在面AC₁上，故作出對(duì)棱面，在平面中研究．
解答：解：由題意，球直徑與正方體邊長(zhǎng)相等，
正方體邊長(zhǎng)為1，球的半徑為，
由題意，要使AP與面ABCD所成角最大，則其在平面中的射影應(yīng)最小，從而可知P點(diǎn)在對(duì)棱面AA₁C₁C上時(shí)，AP與平面ABCD所成的角為α，如圖，截取對(duì)棱面AA₁C₁C，
由圖知tan =
故tanα===2
此時(shí)，AP長(zhǎng)為球心到A的距離加上球的半徑，即
故答案為2 ，
點(diǎn)評(píng)：本題以正方體的內(nèi)切球?yàn)檩d體，考查正方體內(nèi)切球的幾何性質(zhì)，以及切線(xiàn)長(zhǎng)、半徑、點(diǎn)心距組成的直角三角形．屬于位置關(guān)系直接轉(zhuǎn)化的題型．