Question

定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），已知當x∈[-1，0]時，f（x）=x²-ax（a∈R）
（I）求函數(shù)f（x）在[-1，1]的解析式；
（II）求函數(shù)f（x）在[0，1]的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)在[0，1]上的解析式，從而得到函數(shù)f（x）在[-1，1]的解析式；
（2）結合二次函數(shù)的圖象分a≤-2，-2＜a＜0，a≥0討論，求得函數(shù)f（x）在[0，1]的最大值．

解答：解：（I）設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，由已知條件可知f（-x）=（-x）²-a（-x）=x²+ax
∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-f（-x）=-x²-ax
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式為f(x)=

x2-ax，  x∈[-，0] -x2-ax， x∈[0，1]

（II）由（I）知x∈[0，1]時，f（x）=-x²-ax=-(x+

a

2

)2+

a2

4

結合函數(shù)的圖象可知
當-

a

2

≤0，即a≥0時，f（x）_max=f（0）=0
當0＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜0時，f(x)max=f(-

a

2

)=

a2

4

當-

a

2

≥1，即a≤-2時，f（x）_max=f（1）=-1-a
綜上得函數(shù)f（x）在[0，1]的最大值為f(x)max=

0，         a≥0 a2 4 ，    -2＜a＜0 -1-a，  a≤-2

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式及根據(jù)函數(shù)的解析式求閉區(qū)間上的最大值，培養(yǎng)了利用數(shù)形結合及分類討論解題的能力．