Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）設(shè)a＞0，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)a=-1，證明：對(duì)?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

（Ⅰ）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（x+2）（x+1）．  （3分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（x+1）＞0，注意到a＞0，
∴當(dāng)a∈（0，

1

2

）時(shí)，f（x）在（-∞，-

1

a

）上是增函數(shù)，在（-

1

a

，-2）上是減函數(shù)，在（-2，+∞）上遞增；
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上遞增；
當(dāng)a∈（

1

2

，+∞）時(shí)，f（x）在（-∞，-2）上遞增，
在（-2，-

1

a

）上遞減，在（-

1

a

，+∞）上遞增．           （8分）
（Ⅱ）∵a=-1，由（Ⅰ）f'（x）=-e^x（x+2）（x-1），
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)增加，
故f（x）在[0，1]上的最大值為f（1）=e，最小值為f（0）=1．
從而對(duì)?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．     （12分）