橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0),M是橢圓C上一點(diǎn),且滿足F1MF2=
π
3

(1)求橢圓的離心率e的取值范圍;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試求t=
|PF1-PF2|
|OP|
的取值范圍.
分析:(1)在△MF1F2中,根據(jù)余弦定理得4a2-3MF1•MF2=4c2,則3MF1•MF2=4a2-4c2結(jié)合基本不等式即可求得,當(dāng)且僅當(dāng)MF1=MF2=a時(shí),a2≤4c2從而求橢圓的離心率e的取值范圍.
(2)令OP=m,結(jié)合橢圓的定義由余弦定理可得(PF1-PF22=4(m2+c2-a2),得到t=
2
m2+c2-a2
m
=2
1-
a2-c2
m2
最后利用放縮法即可求得t的取值范圍是.
解答:解:(1)在△MF1F2中,MF12+MF22-2MF1•MF2cos∠F1MF2=4c2
即:(MF1+MF22-3MF1•MF2=4c2
即:4a2-3MF1•MF2=4c2,則3MF1•MF2=4a2-4c2MF1•MF2≤(
MF1+MF2
2
)2=a2
,當(dāng)且僅當(dāng)MF1=MF2=a時(shí),取等號(hào)
∴4a2-4c2≤3a2,即a2≤4c2
e2
1
4
e∈[
1
2
,1)
(5分)
(2)令OP=m,則m∈[b,a](10分)
又PF1+PF2=2a
在三角形O與三角形O中分別用余弦定理表示出PF12與PF22兩式相加可得:PF12+PF22=2m2+2c2
則(PF1-PF22=4(m2+c2-a2
t=
2
m2+c2-a2
m
=2
1-
a2-c2
m2

∵m∈[b,a],∴
a2-c2
a2
a2-c2
m2
a2-c2
b2

0≤1-
a2-c2
m2
c2
a2
,
∴t的取值范圍是0≤t≤
2c
a
.     (16分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)交于P、Q兩點(diǎn),直線l與y軸交于點(diǎn)R,且
.
OP
.
OQ
=-3,
.
PR
=3
.
RQ
,求直線l和橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,上、下頂點(diǎn)為B2,B1,點(diǎn)P(
3
5
a
,m)(m>0)是橢圓C上一點(diǎn),PO⊥A2B2,直線PO分別交A1B1、A2B2于點(diǎn)M、N.
(1)求橢圓離心率;
(2)若MN=
4
21
7
,求橢圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)R點(diǎn)是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn),RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P(2,1)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓交于點(diǎn)A、B,直線AB與x軸交于點(diǎn)M,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左焦點(diǎn)為F1(-1,0),右焦點(diǎn)為F2(1,0),短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B.與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,且k1k2=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)求證直線l與y軸相交于定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
(3)當(dāng)弦MN的中點(diǎn)P落在△MF1F2內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線l的斜率的取值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(2,0),離心率e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓交于M、N兩點(diǎn),證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上.

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同步練習(xí)冊(cè)答案