Question

已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可將條件，，成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差的方程，解此方程求得公差值，從而就可寫出其通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，發(fā)現(xiàn)其前n項(xiàng)和可用裂項(xiàng)相消求和法解決；（3）數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，等價(jià)于對(duì)都成立，將（1）的結(jié)果代入，然后將參數(shù)分離出來(lái)，可轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)新數(shù)列的最大項(xiàng)問(wèn)題，對(duì)此新數(shù)列再用比差法研究其單調(diào)性，進(jìn)而就可求得其最大項(xiàng)，從而獲得的取值范圍．
試題解析：（1）由題知，設(shè)的公差為，則，
， ．    
．
（2）．         

．                    
（3），使數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
則對(duì)都成立   
即   
設(shè)


                     

當(dāng)或時(shí)，所以所以．