Question

如圖ABCD和BEFC是邊長(zhǎng)為1正方形，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=x函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

，參照如上信息，f（x）的圖象的對(duì)稱軸以及g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A．x=

  1

  2

  ，0
• B．x=1，2
• C．x=

  1

  2

  ，2
• D．x=1，0

Answer 1

分析：依題意，函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF≥AF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)f（x）取得最小值，從而可求得f（x）的圖象的對(duì)稱軸，進(jìn)一步分析知，g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)，從而可得答案．

解答：解：由題意得，函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF≥AF，
當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線，即x=

1

2

時(shí)，f（x）取得最小值

5

＜

9

4

，
當(dāng)P與B或C重合時(shí)，f（x）取得最大值

2

+1＞

9

4

．
∴x=

1

2

即為f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程；
由g（x）=4f（x）-9=0，即f（x）=

9

4

知，
g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是f（x）=

9

4

的解的個(gè)數(shù)，
由題意知，f（x）=

9

4

的解的個(gè)數(shù)是兩個(gè)．
綜上所述，f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為x=

1

2

，g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，突出考查分類討論思想與化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．