Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱A₁B₁和B₁C₁的中點．
（1）求二面角B₁-BF-E的大�。�
（2）求點D到平面BEF的距離．
（3）能否在棱B₁B上找到一點M，使DM⊥面BEF？若能，請確定點M的位置；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過B₁作B₁G⊥BF于G，連接EG，則由EB₁⊥面B₁BCC₁，可知EG⊥BF．即∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角．解三角形B₁GE即可得到二面角B₁-BF-E的大��；
（2）連接B₁D₁與EF交于N，可得面BEF⊥面BB₁D₁D，且面BEF∩面BB₁D₁D=BN．過D作DH⊥BN于H，則DH⊥面BEF．即DH的長即為點D到面BEF的距離．根據(jù)△BDH∽△NBB₁，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，我們根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求出點D到平面BEF的距離．
（3）在平面BB₁D₁D中，延長DH交BB₁于M，由（2），DH⊥面BEF，則DM⊥面BEF．然后根據(jù)△BDM∽△B₁BN，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊長成比例，易得到結(jié)論．

解答：解：（1）過B₁作B₁G⊥BF于G，連接EG，
則由EB₁⊥面B₁BCC₁，可知EG⊥BF．
∴∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角．
在Rt△BB₁F中，B₁B=a，B₁F=

a

2

，
∴BF=

B1B2+B1F2

=

5

2

a，
B₁G=

B1B•B1F

BF

=

a× a 2

5 2 a

=

5

5

a．
在Rt△B₁GE中，B₁E=

a

2

，B₁G=

5

5

a，
∴tan∠B₁GE=

B1E

B1G

=

a 2

5 5 a

=

5

2

．
∴∠B₁GE=arctan

5

2

．
故二面角B₁-BF-E的大小為arctan

5

2

．
（2）連接B₁D₁與EF交于N，
則EF⊥B₁D₁．又BB₁⊥EF，
∴EF⊥面BB₁D₁D．又EF?面BEF，
∴面BEF⊥面BB₁D₁D，且面BEF∩面BB₁D₁D=BN．
過D作DH⊥BN于H，則DH⊥面BEF．
∴DH的長即為點D到面BEF的距離．
在矩形BB₁D₁D中，
易證△BDH∽△NBB₁，
∴

DH

BB1

=

DB

BN

，DH=

BB1•DB

BN

=

a× 2 a

3 2 4 a

=

4

3

a．
故點D到面BEF的距離為

4

3

a．
（3）在平面BB₁D₁D中，延長DH交BB₁于M，由（2），DH⊥面BEF，
∴DM⊥面BEF．
由△BDM∽△B₁BN，有

BM

B1N

=

BD

BB1

，
∴BM=

BD•B1N

BB1

=

2 a× 2 4 a

a

=

a

2

．
則M為BB₁的中點．
故在棱BB₁上可找到點M，使DM⊥面BEF，此時M為BB₁的中點．

點評：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角，通過解∠B₁GE所在的三角形求得∠B₁GE．其解題過程為：作∠B₁GE→證∠B₁GE是二面角的平面角→計算∠B₁GE，簡記為“作、證、算”．