Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，經(jīng)過C上兩點(diǎn)A、B分別作C的切線l₁、l₂．
（1）設(shè)點(diǎn)A（x₁，

x12

2p

），求直線l₁的方程（用x₁和p表示）；
（2）設(shè)l₁與l₂的交點(diǎn)E在l上，若△ABE面積S的最小值是4，求C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，求導(dǎo)y′|_x=x1=

1

p

x₁，從而寫出直線l₁的方程；
（2）同理寫出直線l₂的方程為2x₂x-2py-

x

2 2

=0，聯(lián)立可得

2x1x-2py-x12=0 2x2x-2py- x 2 2 =0 y=- p 2

從而可推得p²=-x₁x₂，可知直線AB過點(diǎn)F，從而當(dāng)AB∥l時(shí)，面積最小，從而求出p，得到C的方程．

解答： 解：（1）∵x²=2py（p＞0），
∴y=

1

2p

x²，y′=

1

p

x，
則y′|x=x1=

1

p

x₁，
則直線l₁的方程為y-

x12

2p

=

1

p

x₁（x-x₁），
即2x₁x-2py-

x

2 1

=0．
（2）由題意，
直線l₂的方程為2x₂x-2py-

x

2 2

=0，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），則

2x1x-2py-x12=0 2x2x-2py- x 2 2 =0 y=- p 2

則可推出x=

x 2 1 -p2

2x1

=

x 2 2 -p2

2x2

=

x1+x2

2

，
則p²=-x₁x₂，
則直線AB的方程為y-

x12

2p

=

x1+x2

2p

（x-x₁），
且

p

2

-

x12

2p

=

x1+x2

2p

（0-x₁），
故直線AB恒過點(diǎn)F，
則當(dāng)AB∥l時(shí)，面積最小，
即

1

2

p•2p=4，
解得，p=2，
故C的方程為x²=4y．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線中線與曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題．