Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

5

，BC=4，A₁在底面ABC的射影是線段BC的中點O．
（Ⅰ）證明：在側棱AA₁上存在一點E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的長；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于點E，因為AA₁∥BB₁，所以，OE⊥BB₁，證明BC⊥OE，可得結論，AE=

AO2

AA1

；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面B₁CC₁的一個法向量、平面A₁B₁C的法向量，利用向量的夾角公式求二面角A₁-B₁C-C₁的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于點E，因為AA₁∥BB₁，所以，OE⊥BB₁
因為A₁O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA₁O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB₁CC1
又AO=

AB2-BO2

=1，AA₁=

5

得AE=

AO2

AA1

=

5

5

．
（Ⅱ）解：如圖，分別以OA，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）
由

AE

=

1

5

AA1

，得點E的坐標是（

4

5

，0，

2

5

），
由（Ⅰ）知平面B₁CC₁的一個法向量為

OE

=（

4

5

，0，

2

5

）
設平面A₁B₁C的法向量是

n

=（x，y，z），
由

n •AB =0 n • A1C =0

得

x+2y=0 y+z=0

可取

n

=（2，1，-1），
所以cos＜

OE

，

n

＞=

OE • n

|OE|•|n|

=

30

10

．

點評：本題考查線面垂直，考查二面角A₁-B₁C-C₁的余弦值，考查向量法的運用，屬于中檔題．