Question

【題目】如圖，在長方體中，，，，平面截長方體得到一個矩形，且，．

（1）求截面把該長方體分成的兩部分體積之比；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意,平面把長方體分成兩個高為5的直四棱柱,轉(zhuǎn)化求解體積推出結(jié)果即可．

（2）解法一：作,垂足為,證明,推出平面．通過計算求出的值．設(shè)直線與平面所成角為,求解即可．

解法二：建立空間直角坐標系,求出平面一個法向量,設(shè)直線與平面所成角為,通過空間向量的數(shù)量積求解即可．

（1）由題意,面α把長方體分成兩個高為5的直四棱柱,

,

,

所以，．

（2）解法一：作,足為,題意，

平面，故，

所以平面,因為,

，所以，因為，

所以．又，

設(shè)直線與平面所成角為,則．

所以,直線與平面所成角的正弦值為．

解法二：以、、所在直線分別為

軸、軸、軸建立空間直角坐標系,

則,,,,

故,,

設(shè)平面一個法向量為,

則即,

所以可取．

設(shè)直線與平面所成角為,

則．

所以，直線與平面所成角的正弦值為．