Question

已知點(diǎn)O在二面角α-AB-β的棱上，點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB=45°．若對(duì)于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α-AB-β的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角及其度量，由于二面角α-AB-β的可能是銳二面角、直二面角和鈍二面角，故我們要對(duì)二面角α-AB-β的大小分類(lèi)討論，利用反證法結(jié)合點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB=45°．若對(duì)于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，易得到結(jié)論．

解答：解：若二面角α-AB-β的大小為銳角，
則過(guò)點(diǎn)P向平面β作垂線，設(shè)垂足為H．
過(guò)H作AB的垂線交于C，
連PC、CH、OH，則∠PCH就是所求二面角的平面角．
根據(jù)題意得∠POH≥45⁰，
由于對(duì)于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，
∴∠POH≥45°，
設(shè)PO=2x，則PH≥

2

x
又∵∠POB=45°，
∴OC=PC=

2

x，而在Rt△PCH中應(yīng)有
PC＞PH，
∴顯然矛盾，故二面角α-AB-β的大小不可能為銳角．
即二面角α-AB-β的范圍是：[90°，180°]．
若二面角α-AB-β的大小為直角或鈍角，
則由于∠POB=45°，
結(jié)合圖形容易判斷對(duì)于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°．
即二面角α-AB-β的范圍是[90°，180°]．
故答案為：[90°，180°]．

點(diǎn)評(píng)：高考考點(diǎn)：二面角的求法及簡(jiǎn)單的推理判斷能力，易錯(cuò)點(diǎn)：畫(huà)不出相應(yīng)的圖形，從而亂判斷．備考提示：無(wú)論解析幾何還是立體幾何，借助于圖形是我們解決問(wèn)題的一個(gè)重要的方法，它可以將問(wèn)題直觀化，從而有助于問(wèn)題的解決．