已知{an}是首項為a1,公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,其前n項和為Sn,且有
S10
S5
=
33
32
,設(shè)bn=2q+Sn
(1)求q的值;
(2)數(shù)列{bn}能否為等比數(shù)列?若能,請求出a1的值;若不能,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{nbn}的前n項和Tn
分析:(1)利用已知條件,利用等比數(shù)列的求和公式,列出關(guān)于等比數(shù)列的首項與公比的方程組,求公比
(2)由(1)知bn=2q+Sn=1+
a1(1-
1
25
)
1-
1
2
=(2a1+1)-
2a1
2n
,先假設(shè)數(shù)列{bn}能否為等比數(shù)列,則b22=b1b3,可求a1=-
1
2
,bn=
1
2n
,代入檢驗即可判斷
(3)由于bn是有一等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列,利用錯位相減的方法求出前n項和.
解答:解(1)∵q≠1
S10
S5
=
a1(1-q10)
1-q
a1(1-q5)
1-q
=1+q5=
33
32

q=
1
2

(2)由(1)知bn=2q+Sn=1+
a1(1-
1
25
)
1-
1
2
=(2a1+1)-
2a1
2n

①若數(shù)列{bn}能否為等比數(shù)列,則b22=b1b3,即(1+
3a1
2
)
2
=(1+a1)(1+
7a1
4
)

a1=-
1
2
或a1=0(舍去)
bn=
1
2n

②∵bn≠0,且n≥2時,
bn
bn-1
=
1
2

a1=-
1
2
時,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列
(3)由(2)nbn=
n
2n

Tn=
1
2
+
2
22
+…+
n
2n

1
2
Tn
=
1
22
+
2
23
+••+
n-1
2n
+
n
2n+1

兩式相減可得,
1
2
Tn
=
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
-
n
2n+1

=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1

∴Tn=2-
n+2
2n
點評:求數(shù)列的前n項和,一般先求出通項,根據(jù)通項的特點選擇合適的求和方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是首項為19,公差為-2的等差數(shù)列,sn為{an}的前n項和.
(1)求通項an及sn;
(2)設(shè){bn-an}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的通項公式及其前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是首項為1的等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,且9S3=S6,則數(shù)列{
1
an
}
的前5項和為( 。
A、
85
32
B、
31
16
C、
15
8
D、
85
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是首項為1的等差數(shù)列,其公差d>0,且a3,a7+2,3a9成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求f(n)=
Sn(n+6) Sn+1
的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是首項為1的等比數(shù)列,sn是{an}的前n項和,且8a3=a6,則數(shù)列{an}的前5項和為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案