Question

（2012•河南模擬）已知ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB⊥AD，延長BC、AD相交于點E，過三點D、C、E的圓與BD的延長線交于點F．
求證：EC•EB-DB•DF=DE²．

Answer 1

分析：根據(jù)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得到∠BCD=90°，已知CDEF為圓內(nèi)接四邊形，所以∠BCD=∠DFE，從而即可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到△DEF∽△DAB，根據(jù)相似三角形的邊對應(yīng)成比例，最后兩個比例式相減即可得到結(jié)論．

解答：證明：因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB⊥AD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，得∠BCD=90°，
由題意得，CDEF為圓內(nèi)接四邊形，所以∠BCD=∠DFE，
所以∠BAD=∠DFE，
所以△DEF∽△DAB，
∴

DB

DA

=

DE

DF

，∴DB•DF=DA•DE，
又EC•EB=ED•EA，
∴EC•EB-DB•DF=ED•EA-DA•DE=DE•（EA-DA）=DE²．

點評：此題考查了與圓有關(guān)的比例線段，主要考查學(xué)生對圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定的綜合運用．