Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=，AA₁=3，M為線(xiàn)段BB₁上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM+MC₁最小時(shí)，△AMC₁的面積為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：先將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開(kāi)成平面連接AC₁，與BB₁的交點(diǎn)即為滿(mǎn)足AM+MC₁最小時(shí)的點(diǎn)M，由此可以求得△AMC₁的三邊長(zhǎng)，再由余弦定理求出其中一角，由面積公式求出面積
解答：將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開(kāi)成平面連接AC₁，與BB₁的交點(diǎn)即為滿(mǎn)足AM+MC₁最小時(shí)的點(diǎn)M，
由于AB=1，BC=2，AA₁=3，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得BM=AA₁=1，故B₁M=2
由圖形及棱柱的性質(zhì)，可得AM=，AC₁=，MC₁=2
cos∠AMC₁==-
故sin∠AMC₁=
△AMC₁的面積為×××=
故答案為
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的特征，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其棱長(zhǎng)等求出三角形的邊長(zhǎng)，再由面積公式求面積，本題代數(shù)與幾何相結(jié)合，綜合性強(qiáng)，解題時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確，正確認(rèn)識(shí)圖形中的位置關(guān)系．