Question

已知PA、PB、PC是三棱錐P-ABC的三條棱，PA=PB=PC，且PA，PB，PC夾角都是60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  6

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：由已知得三棱錐P-ABC是正四面體，設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，作PO⊥平面ABC，交ABC于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出直線PC與平面PAB所成角的余弦值．

解答： 解：∵PA、PB、PC是三棱錐P-ABC的三條棱，
PA=PB=PC，且PA，PB，PC夾角都是60°，
∴三棱錐P-ABC是正四面體，
設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，作PO⊥平面ABC，交ABC于點(diǎn)O，
則PO=

( 4-1 )2-( 4-1 3 )2

=

2 6

3

，
以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則P（0，0，

2 6

3

），C（-1，

3

3

，0），
A（0，-

2 3

3

，0），B（1，

3

3

，0），

PC

=（-1，

3

3

，-

2 6

3

），

PA

=（0，-

2 3

3

，-

2 6

3

），

PB

=（1，

3

3

，-

2 6

3

），
設(shè)平面PAB的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • PA =- 2 3 3 y- 2 6 3 z=0 n • PB =x+ 3 3 y- 2 6 3 z=0

，取z=1，得

n

=（

6

，-

2

，1），
設(shè)直線PC與平面PAB所成角為θ，
sinθ=|cos＜

PC

，

n

＞|=

| PC • n |

| PC |•| n |

=

2 6

2×3

=

6

3

．
∴cosθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．
∴直線PC與平面PAB所成角的余弦值是

3

3

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，考查線面所成角的求法，解題時(shí)要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．