Question

已知命題：“x∈R，都有不等式|2x-1|+|x+2|+2x-m²-2m+2≥0成立”是真命題，
（1）求實數(shù)m的取值集合B；
（2）設(shè)不等式（x+3a）（x-a+2）＜0的解集為A，若x∈A是x∈B的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)不等式恒成立，建立等價條件即可求實數(shù)m的取值集合B；
（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）命題：“?x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命題，
得x²-x-m＜0在-1≤x≤1恒成立，
∴m＞（x²-x）_max得m＞2即B=（2，+∞）．
（2）不等式（x-3a）（x-a-2）＜0
①當(dāng)3a＞2+a，即a＞1時解集A=（2+a，3a），若x∈A是x∈B的充分不必要條件，
則A⊆B，∴2+a≥2此時a∈（1，+∞）．
②當(dāng)3a=2+a，即a=1時解集A=φ，若x∈A是x∈B的充分不必要條件，則A?B成立．
③當(dāng)3a＜2+a，即a＜1時解集A=（3a，2+a），
若x∈A是x∈B的充分不必要條件，則A?B成立，
∴3a≥2此時a∈[

2

3

，1)．
綜上①②③：a∈[

2

3

，+∞)．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題的求解以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，注意要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．