Question

10．若a是f（x）=sinx-xcosx在x∈（0，2π）的一個零點，則下列結論中正確的有①②③．
①$a∈（π，\frac{3π}{2}）$；                     
②$?x∈（0，2π），cosa≤\frac{sinx}{x}$；
③?x∈（0，π），x-a＜cosx-cosa；   
④?x∈（0，2π），asinx＜xsina．

Answer 1

分析 求導f′（x）=cosx-cosx+xsinx=xsinx，從而由導數(shù)的正負可判斷函數(shù)的單調性，再結合函數(shù)零點的判定定理可得零點$a∈（π，\frac{3π}{2}）$；
令F（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈（0，2π），求導F′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，從而可判斷當x∈（0，a）時，F(xiàn)′（x）＜0，當x∈（a，2π）時，F(xiàn)′（x）＞0，從而可證明$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{sina}{a}$=cosa；
令F（x）=x-cosx，求導F′（x）=1+sinx≥0；從而判斷函數(shù)的單調性，從而可得x-a＜cosx-cosa；
當x∈（0，2π）時，asinx＜xsina可化為$\frac{sinx}{x}$＜$\frac{sina}{a}$；由以上討論可知$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{sina}{a}$恒成立；故④不成立．

解答 解：∵f（x）=sinx-xcosx，
∴f′（x）=cosx-cosx+xsinx=xsinx，
故f（x）在（0，π）上是增函數(shù)，在（π，2π）上是減函數(shù)；
而f（0）=0，f（π）=0-π•（-1）=π＞0，f（$\frac{3π}{2}$）=-1-0=-1＜0；
故$a∈（π，\frac{3π}{2}）$，故①正確；
令F（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈（0，2π），則F′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
則當x∈（0，a）時，F(xiàn)′（x）＜0，當x∈（a，2π）時，F(xiàn)′（x）＞0，
故F（x）≥F（a），
即$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{sina}{a}$=cosa；
故②正確；
令F（x）=x-cosx，F(xiàn)′（x）=1+sinx≥0；
故F（x）=x-cosx在R上是增函數(shù)，
又∵當x∈（0，π），x＜a；
∴x-cosx＜a-cosa，
即x-a＜cosx-cosa；
故③正確；
當x∈（0，2π）時，asinx＜xsina可化為
$\frac{sinx}{x}$＜$\frac{sina}{a}$；
而由以上討論可知，$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{sina}{a}$恒成立；
故④不成立；
故答案為：①②③．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及三角函數(shù)的化簡與應用，特別考查了構造函數(shù)的方法證明不等式，屬于難題．