Question

18．已知PA垂直于△ABC所在的平面α，D為BC的中點(diǎn)，又PB、PD、PC與平面α所成的角為60°、45°、30°，且BC=6cm，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 畫出圖形，設(shè)出高并轉(zhuǎn)化底面三角形的邊長(zhǎng)，利用余弦定理求解即可．

解答 解：由題意可得幾何體的圖形如圖：設(shè)PA=h，由題意PA垂直于△ABC所在的平面α，可得∠PBA=60°、∠PDA=45°、∠PCA=30°，
則AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$h，AD=h，AC=$\sqrt{3}$h，
在底面三角形ABC中，由余弦定理可得：${（\frac{\sqrt{3}}{3}h）}^{2}={3}^{2}+{h}^{2}-2×3×hcos∠ADB$，
${（\sqrt{3}h）}^{2}={3}^{2}+{h}^{2}-2×3×hcos∠ADC$，
可得$（3+\frac{1}{3}）{h}^{2}=9+9+2{h}^{2}$，
解得h=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
PA的長(zhǎng)$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體的距離的求法，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．