（本小題滿分12分）
如圖：在正方體
ABCD—
A1B1C1D1中，
M、
N、
P分別為所在邊的中點，
O為面對角線
A1C1的中點.
(1) 求證：面
MNP∥面
A1C1B；(2) 求證：
MO⊥面
A1C1.
證明：（1） 連結(jié)
D1C，
MN為△
DD1C的中位線，∴
MN∥
D1C.………………2分
又∵
D1C∥
A1B∴
MN∥
A1B.同理
MP∥
C1B.…………………………………………… 4分
而
MN與
MP相交，
MN，
MP
面
MNP，
A1B，
A1B面
A1C1B.∴面
MNP∥面
A1C1B.………………6分
證明：（2） 法1，連結(jié)
C1M和
A1M，設(shè)正方體的邊長為
a，
∵正方體
ABCD—
A1B1C1D1，∴
C1M=
A1
M，
又∵
O為
A1C1的中點，
∴
A1C1⊥
MO………………………………………………8分
連結(jié)
BO和
BM，在三角形
BMO中，
經(jīng)計算知：
∴
OB2+
MO2=
MB2，
即
BO⊥
MO.而
A1C1，
BO
面
A1C1B，∴
MO⊥面
A1C1B.
…………………………………………………………12分
法2，連結(jié)
AB1，
B1D,
B1D1,則
O是
B1D1的中點,
∵
AD⊥面
ABB1A1,
A1B面
ABB1A1,∴
AD⊥
A1B.
又
A1B⊥
A1B,
AD和
AB1是面
AB1D內(nèi)兩條相交直線,
∴
A1B⊥面
AB1D,…………………………………………8分
又
B1D面
AB1D,∴
A1B⊥
B
1D.同理:
BC1⊥
B1D. 第20題答案圖（2）
又
A1B和
BC1是面
A1BC1內(nèi)兩條相交直線,∴
B1D⊥面
A1BC1.………………………10分
∵
OM是△
D1B1D的中位線,∴
OM∥
B1D.∴
OM⊥面
A1BC1.…………………………12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
（本題滿分12分）
如圖，已知直角梯形
的上底
，
，
，平面
平面
，
是邊長為
的等邊三角形。
（1）證明：
；
（2）求二面角
的大小。
（3）求三棱錐
的體積。
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
三棱錐
S—ABC中，
SA⊥底面
ABC，
SA=4，
AB=3，
D為
AB的中點∠
ABC=90°，則
點D到面SBC的距離等于
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
本小題
滿分12分
如圖，在直三棱柱ABC—A
1B
1C
1中，AC=1，AB=
，BC=
，AA
1=
。
（I）求證：A
1B⊥B
1C；
（II）求二面角A
1—B
1C—B的大小。
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
．(本題滿分12分)
如圖所示，
⊥矩形
所在的平面，
分別是
、
的中點，
(1)求證：
∥平面
；
(2)求證：
⊥
；
(3)若
，求證：平面
⊥平面
.
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
（本小題滿分12分）
如圖， 在直三棱柱ABC－A
1B
1C
1中，AC＝3
，BC＝4，
，AA
1＝4，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC
1；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：填空題
、圓臺上底半徑為5cm，下底半徑為10cm，母線AB=20cm，A在上底面上，B在下底面上，從AB中點M拉一條繩子，繞圓臺側(cè)面一周到B點，則繩子最短時長為_ ___
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖，D，E分別為三棱錐P—ABC
的棱AP、AB上的點，且AD:DP=AE:EB=1:3.求證：DE//平面PBC
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