Question

（本小題滿分12分）
如圖， 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）  略
（2）  

（Ⅰ）證明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5，



∴ AC⊥BC，                                           …………………2分
又 AC⊥，且
∴ AC⊥平面BCC₁，又平面BCC₁        ……………………………………4分
∴ AC⊥BC₁            ………………………………………………………………5分
（Ⅱ）解法一：取中點(diǎn)，過(guò)作于，連接        …………6分
是中點(diǎn)，
∴ ，又平面
∴平面，
又平面，平面
∴
∴ 又且
∴平面，平面        ………8分
∴  又
∴是二面角的平面角     ……………………………………10分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴在中，，，
∴      …………………………………………11分
∴二面角的正切值為 …………………………………………12分
解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系…………6分
AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，
∴， ，，，
∴，

平面的法向量，    …………………8分
設(shè)平面的法向量，
則，的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角的大小  …………9分
則由  令，則，∴                                         ………………10分
  　……………11分
∵二面角是銳二面角
∴二面角的余弦值為   ………………………… 12分