Question

11．如圖，在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)AB=2DE便可得到BC=2EF，從而可以得出四邊形EFHB為平行四邊形，從而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再證明DE∥平面FGH，從而得到平面BDE∥平面FGH，從而BD∥平面FGH；
（Ⅱ）連接HE，根據(jù)條件能夠說明HC，HG，HE三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出一些點(diǎn)的坐標(biāo)．連接BG，可說明$\overrightarrow{BG}$為平面ACFD的一條法向量，設(shè)平面FGH的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，設(shè)平面FGH與平面ACFD所成的角為θ，根據(jù)cosθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BG}＞|$即可求出平面FGH與平面ACFD所成的角的大�。�

解答 解：（Ⅰ）證明：根據(jù)已知條件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；
△DEF∽△ABC，又AB=2DE，
∴BC=2EF=2BH，
∴四邊形EFHB為平行四邊形；
∴BE∥HF，HF?平面FGH，BE?平面FGH；
∴BE∥平面FGH；
同樣，因?yàn)镚H為△ABC中位線，∴GH∥AB；
又DE∥AB；
∴DE∥GH；
∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；
∴平面BDE∥平面FGH，BD?平面BDE；
∴BD∥平面FGH；
（Ⅱ）連接HE，則HE∥CF；
∵CF⊥平面ABC；
∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；
∴HC，HG，HE三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)HC=1，則：

H（0，0，0），G（0，1，0），F(xiàn)（1，0，1），B（-1，0，0）；
連接BG，根據(jù)已知條件BA=BC，G為AC中點(diǎn)；
∴BG⊥AC；
又CF⊥平面ABC，BG?平面ABC；
∴BG⊥CF，AC∩CF=C；
∴BG⊥平面ACFD；
∴向量$\overrightarrow{BG}=（1，1，0）$為平面ACFD的法向量；
設(shè)平面FGH的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HF}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}=y=0}\end{array}\right.$，取z=1，則：$\overrightarrow{n}=（-1，0，1）$；
設(shè)平面FGH和平面ACFD所成的銳二面角為θ，則：cosθ=|cos$＜\overrightarrow{BG}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
∴平面FGH與平面ACFD所成的角為60°．

點(diǎn)評 考查棱臺的定義，平行四邊形的定義，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理，以及建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要條件，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，平面和平面所成角的定義．