Question

已知函數(shù)g（x）=x|a-x|+2x，若存在a∈[-2，3]，使得函數(shù)y=g（x）-at有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A、（

  9

  4

  ，

  5

  2

  ）
• B、（2，

  25

  12

  ）
• C、（2，

  9

  4

  ）
• D、（2，

  5

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：g（x）=x|a-x|+2x=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，易分析a≥-2時(shí)，g（x）在[a，+∞）遞增；a≤2時(shí)，g（x）在（-∞，a）遞增；于是得當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，g（x）在R上是增函數(shù)，則函數(shù)y=g（x）-at不可能有三個(gè)零點(diǎn)，故只需考慮a∈（2，3]的情形．當(dāng)x≥a時(shí)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值可求得g（x）的值域?yàn)閇2a，+∞）；若x＜a，g（x）的值域?yàn)椋?∞，

(a+2)2

4

]，依題意ta∈（2a，

(a+2)2

4

]，即存在a∈[-2，3]，使得t∈（2，

(a+2)2

4a

]即可．

解答： 解：∵g（x）=x|a-x|+2x=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，
若x≥a，對(duì)稱軸x=

a-2

2

≤a，即a≥-2時(shí)，g（x）在[a，+∞）遞增；
若x＜a，對(duì)稱軸x=

a+2

2

≥a，即a≤2時(shí)，g（x）在（-∞，a）遞增；
∴當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，g（x）在R上是增函數(shù)，則函數(shù)y=g（x）-at不可能有三個(gè)零點(diǎn)；
因此，只需考慮a∈（2，3]的情形．
當(dāng)a∈（2，3]時(shí)，g（x）=x|a-x|+2x=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，
若x≥a，g（x）=x²+（2-a）x，對(duì)稱軸x=

a-2

2

＜a，
則g（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時(shí)g（x）的值域?yàn)間（x）∈[g（a），+∞）=[2a，+∞）；
若x＜a，g（x）=-x²+（2+a）x，對(duì)稱軸x=

a+2

2

＜a，
則g（x）在x∈（-∞，

a+2

2

]為增函數(shù)，此時(shí)g（x）的值域?yàn)椋?∞，

(a+2)2

4

]；
g（x）在[

a+2

2

，a]為減函數(shù)，此時(shí)g（x）的值域?yàn)椋?a，

(a+2)2

4

]；
由存在a∈[-2，3]，使得函數(shù)y=g（x）-at有三個(gè)零點(diǎn)，
則ta∈（2a，

(a+2)2

4

]，即存在a∈[-2，3]，使得t∈（2，

(a+2)2

4a

]即可，
令h（a）=

(a+2)2

4a

≥

(2 2a )2

4a

=2，只要使t＜[h（a）]_max即可，而h（a）在a∈[-2，3]上是增函數(shù)，
∴[h（a）]_max=h（3）=

25

12

，故實(shí)數(shù)t的取值范圍是（2，

25

12

）；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查分類討論思想的應(yīng)用，突出函數(shù)單調(diào)性與值域的探索與分析，考查創(chuàng)新思維、邏輯思維、抽象思維及綜合運(yùn)算、分析的能力，屬于難題．