設函數(shù)f(x)=
ex-1
x

(1)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)證明:對任意正數(shù)a,存在正數(shù)x,使不等式f(x)-1<a成立.
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(1)由題意知:f′(x)=
xex-(ex-1)
x2
=
(x-1)ex+1
x2
,構造函數(shù)h(x)=(x-1)ex+1,由此利用導數(shù)性質(zhì)能推導出f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).
(2)不等式f(x)-1<a可化為ex-(a+1)x-1<0,令G(x)=ex-(a+1)x-1,得G′(x)=ex-(a+1),由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明存在正數(shù)x=ln(a+1),使不等式F(x)-1<a成立.
解答: (1)解:由題意知:f′(x)=
xex-(ex-1)
x2
=
(x-1)ex+1
x2
,
令h(x)=(x-1)ex+1,則h′(x)=x ex>0,
∴h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),又h(0)=0,
∴h(x)>0,則f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).
(2)證明:f(x)-1=
ex-x-1
x
,
不等式f(x)-1<a可化為ex-(a+1)x-1<0,
令G(x)=ex-(a+1)x-1,得G′(x)=ex-(a+1),
由G′(x)=0得:x=ln(a+1),
當0<x<(ln(a+1)時,
G′(x)<0,當x>ln(a+1)時,G′(x)>0,
∴當x=ln(a+1)時,G(x)min=a-(a+1)ln(a+1),
令ϕ(a)=
a
a+1
-ln(a+1),(a≥0),
ϕ′(a)=
1
(a+1)2
-
1
a+1
=-
a
(a+1)2
<0,
又ϕ(0)=0,∴當a>0時,ϕ(a)<ϕ(0)=0,
即當x=ln(a+1)時,G(x)min=a-(a+1)ln(a+1)<0.
故存在正數(shù)x=ln(a+1),使不等式F(x)-1<a成立.
點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷,考查不等式的證明,解題時要認真審題,注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用.
練習冊系列答案
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x2-2x-3
的單調(diào)減區(qū)間是( 。
A、(-∞,1]
B、[1,+∞)
C、[3,+∞)
D、(-∞,-1]

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2x+3
x+1
(x≥1).

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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax2+1(a∈R).
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(Ⅰ)當k=1時,求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
(a>0)
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(Ⅱ)設f(x)的極小值點為α,極大值點為β,f(α)=-1,f(β)=1,求a、b的值;
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2
2+mx2
恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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AB
BC
=
 

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