Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna-b（a，b∈R，a＞0，a≠1）．
（1）當(dāng)a＞1時，試判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)b=4，a=e（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）時，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+1）上存在零點(diǎn)；
（3）當(dāng)b=0時，若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a＞1時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)b=4，a=e根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在的條件即可求出k；
（3）當(dāng)b=0時，求出函數(shù)的最值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，故當(dāng)x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，
∴f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增． 
（2）f（x）=e^x+x²-x-4，
∴f′（x）=e^x+2x-1，∴f′（0）=0，
當(dāng)x＞0時，e^x＞1，∴f′（x）＞0，故f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)；
同理，f（x）是（-∞，0）上的減函數(shù)．
f（0）=-3＜0，f（1）=e-4＜0，f（2）=e²-2＞0，
當(dāng)x＞2，f（x）＞0，
故當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在[1，2]內(nèi)，
∴k=1滿足條件；f(0)=-3＜0，f(-1)=

1

e

-2＜0，f(-2)=

1

e2

+2＞0，
當(dāng)x＜-2，f（x）＞0，
故當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在[-2，-1]內(nèi)，
∴k=-2滿足條件．
綜上，k=1或-2．               
（3）f（x）=a^x+x²-xlna，
∵存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時，|（f（x））_max-（f（x））_min|=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1，
f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
記h（x）=2x+（a^x-1）lna
h′（x）=a^xln²a+2＞0，∴h′（x）是R上的增函數(shù)，
故f′（x）=0有唯一解x=0．
則x，f（x），f′（x）的變化情況如下表所示：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

故f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
所以當(dāng)x∈[-1，1]時f_min（x）=f（0）=1，f_max（x）=max{f（1），f（-1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（

1

a

+1+lna）=a-

1

a

-2lna，
記g（t）=t-

1

t

-2lnt，t＞0，則g′（t）=1+

1

t2

-

2

t

=(

1

t

-1)2≥0（當(dāng)t=1時取等號），
所以g（t）=t-

1

t

-2lnt在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0，
所以當(dāng)t＞1時，g（t）＞0；當(dāng)0＜t＜1時，g（t）＜0，
也就是當(dāng)a＞1時，f（1）＞f（-1）；當(dāng)0＜a＜1時，f（1）＜f（-1），
①當(dāng)a＞1時，由f（1）-f（0）≥e-1，即a-lna≥e-1，
∵a-lna是關(guān)于a＞1的增函數(shù)，
∴a-lnaa-lna≥e-1，解得a≥e；
②當(dāng)0＜a＜1時，由f（1）-f（0）≥e-1，則

1

a

+lna≥e-1，同理能得出0＜a≤

1

e

．
綜上知，所求a的取值范圍為a∈（0，

1

e

]∪[e，+∞）．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識，通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題，考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，同時也考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．