Question

已知f（x）=sinx+sin（

π

2

-x）．
（1）若α∈[0，π]，且sin2α=

1

3

，求f（α）的值；
（2）若x∈[0，π]，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由α的范圍，得到sinα大于0，再由二倍角的正弦函數(shù)公式化簡等式sin2α=

1

3

的左邊，根據(jù)sinα大于0，得到cosα大于0，可得出α的具體范圍，然后將x=α代入函數(shù)f（x）解析式中得到f（α）=sinα+cosα，利用誘導(dǎo)公式化簡，并根據(jù)2sinα•cosα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα+cosα的值，即為f（α）的值；
（2）利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡f（x）解析式，得到一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵α∈[0，π]，∴sinα＞0，
∴f（α）=sinα+cosα，…（1分）
又sin2α=

1

3

=2sinα•cosα＞0，
∴α∈（0，

π

2

），sinα+cosα＞0，…（3分）
由（sinα+cosα）²=1+2sinα•cosα=

4

3

，…（5分）
∴sinα+cosα=

2 3

3

，
∴f （α）=

2 3

3

；…（7分）
（2）由（1）知f （x）=

2

sin（x+

π

4

），
當(dāng)2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）時(shí)，f（x）是單調(diào)遞增，…（9分）
∴2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z），又0≤x≤π，…（11分）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

4

]．…（12分）

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．