Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1．
（1）當(dāng)a=e時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x≥0，都有f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=e時(shí)，f（x）=e^x-ex-1，f′（x）=e^x-e，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間．
（2）f′（x）=e^x-a，由x≥0，得出e^x≥1．對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論得出a的取值范圍．

解答 解：（1）a=e時(shí)，f（x）=e^x-ex-1，f′（x）=e^x-e，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0恒成立；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0恒成立…（4分）
∴f（x）的減區(qū)間是（-∞，1）；增區(qū)間是（1，+∞）； …（6分）
（2）f′（x）=e^x-a，∵x≥0，∴e^x≥1．
①若a≤1，則f′（x）≥0（僅當(dāng)a=1且x=0時(shí)取等號(hào)），
∴f（x）增于[0，+∞），∴f（x）≥f（0）=0，合乎題意，…（10分）
②若a＞1，令f′（x）=0得，x=lna，易得f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)減，
在（lna，+∞）上單調(diào)增，而f（0）=0，所以f（x）在（0，lna）上不恒負(fù)，不合題意．
綜上所述知a的取值范圍是（-∞，1]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)得單調(diào)區(qū)間和利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題型．