Question

如圖，已知圓C的方程為：x²+y²-6x-8y+21=0，平面上有A（1，0）和B（-1，0）兩點(diǎn)．
（I）在圓上求一點(diǎn)Q，使△ABQ的面積最大，并求出最大面積；
（II）在圓上求一點(diǎn)P，使|AP|²+|BP|²取得最小值．

Answer 1

分析：（I）由于|AB|為定值，故△ABQ的面積最大，Q的縱坐標(biāo)最大值；
（II）利用兩點(diǎn)間的距離公式，表示出|AP|²+|BP|²，化簡，求|AP|²+|BP|²取得最小值轉(zhuǎn)化為使|OP|²最小即可．

解答：解：（I）圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）²+（y-4）²=4，C坐標(biāo)是（3，4），|AB|=2
∵S_△ABQ=

1

2

|AB|×|y_Q|，
∴Q的縱坐標(biāo)最大值時(shí)，面積最大
∵C坐標(biāo)是（3，4），∴Q縱坐標(biāo)為：4+2=6即Q（3，6）時(shí)，面積的最大值是6；
（II）設(shè)P（x，y），則|AP|²+|BP|²=（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2
要使|AP|²+|BP|²取得最小值，只要使|OP|²最小即可
∵P為圓上的點(diǎn)，∴點(diǎn)P為OC連線于圓C的交點(diǎn)
直線OC：y=

4

3

x，與（x-3）²+（y-4）²=4聯(lián)立，可得25x²-150x+189=0
∴x=

9

5

或x=

21

5

＞3（舍去）
∴y=

12

5

∴P的坐標(biāo)為（

9

5

，

12

5

）．

點(diǎn)評：本題考查三角形面積的計(jì)算，考查兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．