過半徑為R的球面上一點(diǎn)作三條兩兩垂直的弦MA、MB、MC，求證：MA2+MB2+MC2為定值.

證明:設(shè)MA、MB確定一平面截球面為小圓AMB.

∵M(jìn)A⊥MB，

∴AB為小圓直徑且其圓心為O′，連結(jié)MO′并延長交小圓O′于D，連結(jié)CD，則MC⊥小圓面AMB.

∵M(jìn)C小圓面MCD，

∴平面MCD⊥小圓面MAB.

又MD是小圓面的直徑，

∴平面MCD是球面的一個(gè)大圓面.由MC⊥MD，

∴CD過球心O，即CD是球O的直徑.

∴CD2=MC2+MD2=MC2+MA2+MB2，

即MA2+MB2+MC2為定值4R2.

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