Question

20．點(diǎn)A為圓O：x²+y²=4上一動(dòng)點(diǎn)，AB⊥x軸于B點(diǎn)，記線段AB的中點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)P（0，$\frac{5}{3}$）的直線l與曲線C交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，且對(duì)l外任意一點(diǎn)Q，有$\overrightarrow{QM}$=$\overrightarrow{4QN}$-$\overrightarrow{3QP}$成立？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₀，y₀），B（x，y），由題意可得可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，代入x²+y²=4化簡(jiǎn)可得；
（Ⅱ）由向量式可得$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)x=0符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+$\frac{5}{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1消y由韋達(dá)定理可得關(guān)于k的方程，化簡(jiǎn)可得矛盾，綜合可得所求直線為x=0

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₀，y₀），B（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}}\\{y=\frac{1}{2}{y}_{0}}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，
代入x²+y²=4化簡(jiǎn)可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，是焦點(diǎn)在x軸的橢圓；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{QM}$=$\overrightarrow{4QN}$-$\overrightarrow{3QP}$，∴$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$，①
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，M（0，-1），N（0，1），此時(shí)直線方程為x=0符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+$\frac{5}{3}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1消y并整理可得（9+36k²）x²+120kx+64=0，
由△=14400k-256（9+36k²）＞0可解得k²＞$\frac{4}{9}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-$\frac{120k}{9+36{k}^{2}}$，②
x₁x₂=$\frac{64}{9+36{k}^{2}}$，③
由①得x₁=4x₂，④
由②③④消去x₁，x₂可得$\frac{16}{9+36{k}^{2}}$=$\frac{24{k}^{2}}{（9+36{k}^{2}）^{2}}$，
即$\frac{36{k}^{2}}{9+36{k}^{2}}$=1無(wú)解，
綜上可得存在符合條件的直線x=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，涉及橢圓方程的求解和圓錐曲線設(shè)而不求的思想以及分類討論，屬難題．