Question

16．給出下列3個(gè)命題：①若a，b∈R，則$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$；②若x∈R，則x²+1＞x；③若x∈R且x≠0，則x+$\frac{1}{x}$≥2，其中真命題的序號(hào)為②．

Answer 1

分析 ①舉例說明命題不成立；
②利用作差法證明命題正確；
③討論x＞0與x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$的最值問題即可．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$不成立，∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，任意x∈R，有x²+1-x=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0
∴x²+1＞x，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≤-2；∴③錯(cuò)誤
綜上，真命題的序號(hào)是②．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式與不等關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．