Question

19．下列命題：
①sin2x=cosx，則sinx=$\frac{1}{2}$；
②若關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0（a，b，c∈R）無(wú)兩個(gè)不相等的實(shí)根，則ac≥0；
③若非零向量|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為60°；
④若集合A={x|x²+2x-3＜0，x∈R}，則集合A∩Z的子集個(gè)數(shù)為8．
其中真命題為②④．（填序號(hào)）

Answer 1

分析 利用二倍角公式化簡(jiǎn)方程，判斷①的正誤；方程是否有實(shí)數(shù)根判斷②的正誤；利用向量的夾角判斷③的正誤；利用子集的個(gè)數(shù)判斷④的正誤．

解答 解：對(duì)于①，sin2x=cosx，可得2sinxcosx=cosx，可得cosx=0或sinx=$\frac{1}{2}$；所以①不正確；
對(duì)于②，若關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0（a，b，c∈R）無(wú)兩個(gè)不相等的實(shí)根，可得b²-4ac≤0，
則ac≥$\frac{1}{4}^{2}≥0$；所以②正確；
對(duì)于③，若非零向量|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為120°；所以③不正確；
對(duì)于④，若集合A={x|x²+2x-3＜0，x∈R}={x|-3＜x＜1}，則集合A∩Z={-2，-1，0}
它的子集個(gè)數(shù)為8．所以④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及三角方程，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，向量的夾角，集合的子集等知識(shí)，基本知識(shí)的考查．