Question

7．設(shè)S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{201{4}^{2}}+\frac{1}{201{5}^{2}}}$，則不大于S的最大整數(shù)等于（　�。�

• A． 2016
• B． 2015
• C． 2014
• D． 2013

Answer 1

分析 由$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂項(xiàng)求和法求出S=2014+1-$\frac{1}{2015}$，由此能求出不大于S的最大整數(shù)為2014．

解答 解：$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+{n}^{2}+（n+1）^{2}}}{n（n+1）}$=$\frac{\sqrt{（1+n+{n}^{2}）^{2}}}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1+n+{n}^{2}}{{n}^{2}+n}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{201{4}^{2}}+\frac{1}{201{5}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+1+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=2014+1-$\frac{1}{2015}$，
∴不大于S的最大整數(shù)為2014，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．