Question

定義：設函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導，若f′（x）為（a，b）內(nèi)的增函數(shù)，則稱f（x）為（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù)．
（Ⅰ）已知f（x）=e^x-ax³+x在（0，+∞）內(nèi)為下凸函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設f（x）為（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù)，求證：對于任意正數(shù)λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，
不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）對于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

Answer 1

分析：（I）函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)為下凸函數(shù)等價于x∈（0，+∞）時，f′（x）為增函數(shù)，則x∈（0，+∞）時，[f′（x）]^′≥0恒成立，將a分離出來，研究不等式另一側的最小值即可求出a的范圍．
（II）利用上凸函數(shù)的定義“f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”進行證明即可．

解答：解：（I）f（x）=e^x-ax³+x在（0，+∞）內(nèi)為下凸函數(shù)等價于x∈（0，+∞）時，f′（x）=e^x-3ax²+1為增函數(shù)；
所以x∈（0，+∞）時，[f′（x）]^′=e^x-6ax≥0恒成立，即a≤

ex

6x

恒成立
設g(x)=

ex

6x

，g′(x)=

ex(x-1)

6x2

，
令g′（x）=0，得x=1，且當0＜x＜1時，g′（x）＜0；當x＞1時，g′（x）＞0．
所以在x=1時，g（x）取得最小值為

e

6

，所以a≤

e

6

（II）證明：根據(jù)上凸函數(shù)的定義“f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”
取x=x₁，y=x₂，λ=λ₁，1-λ=1-λ₁=λ₂，而任意正數(shù)λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，x₁、x₂∈（a，b）
得不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）對于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用上凸函數(shù)的定義證明不等式，屬于難題．