Question

若正方體P₁P₂P₃P₄-Q₁Q₂Q₃Q₄的棱長為1，集合M={x|x=

P1Q1

•

SiTj

，S，T∈{P，Q}，i，j∈{1，2，3，4}}，則對于下列命題：
①當

SiTj

=

PiQj

時，x=1；
②當

SiTj

=

PiQj

時，x=-1；
③當x=1時，（i，j）有8種不同取值；
④當x=1時，（i，j）有16種不同取值；
⑤M={-1，0，1}．
其中正確的結(jié)論序號為

 

．（填上所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點：空間向量的基本定理及其意義

專題：空間向量及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，得出向量

PiQj

、

P1Q1

、

PiPj

、

QiPj

的坐標表示，
求出x=

P1Q1

•

SiTj

的值即可判斷所給的結(jié)論是否正確．

解答： 解：根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，如圖所示；
①當

SiTj

=

PiQj

時，x=

P1Q1

•

PiQj

=（0，0，1）•（x_i，x_j，1）=1，∴①正確；
②當

SiTj

=

PiQj

時，由①知，x=1，∴②錯誤；
③當x=1時，i=1、2、3、4，j=1、2、3、4，（i，j）有4×4=16種不同的取值，∴③錯誤；
④當x=1時，由③知，（i，j）有16種不同取值，∴④正確；
⑤當

SiTj

=

PiQj

時，x=

P1Q1

•

PiQj

=1，
當

SiTj

=

PiPj

時，x=

P1Q1

•

PiPj

=（0，0，1）•（x_i，x_j，0）=0，
當

SiTj

=

QiPj

時，x=

P1Q1

•

QiPj

=（0，0，1）•（x_i，x_j，-1）=-1，
∴M={-1，0，1}，⑤正確．
綜上，正確的結(jié)論是①④⑤．

點評：本題考查了空間向量的應(yīng)用問題，也考查了集合知識的應(yīng)用問題，是綜合性題目．