Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+

a

2

x²-2x（a∈R）
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a-1）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求解判斷，
（2）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解，討論對(duì)稱軸，單調(diào)性．

解答： 解：∵（1）當(dāng)a=3時(shí)函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+

a

2

x²-2x，
函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+

a

2

x²-2x=-

1

3

x³+

3

2

x²-2x，
∴f′（x）=-x²+3x-2，
-x²+3x-2＞0，即1＜x＜2
-x²+3x-2＜0即x＞2，x＜1．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（1，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）
（2）對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a-1）成立，
-x²+ax-2＜2（a-1），即x²-ax+2a＞0，△=a²-8a，g（x）=x²-ax+2a，
當(dāng)△＜0時(shí)0＜a＜8，不等式成立．
當(dāng)△≥0時(shí)，即a≥8，a≤0，g（1）＞0，

a

2

≤1
-1＜a≤0，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍：-1＜a＜8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，用二次函數(shù)解決最值，恒成立問題．