已知拋物線(xiàn)C的方程為x2=2py（p＞0），焦點(diǎn)F為（0，1），點(diǎn)P（x1，y1）是拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l于點(diǎn)A（s，t）．
（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若x1∈[1，4]，求s的取值范圍．
（3）過(guò)點(diǎn)A作拋物線(xiàn)C的另一條切線(xiàn)AQ，其中Q（x2，y2）為切點(diǎn)，試問(wèn)直線(xiàn)PQ是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（本題滿(mǎn)分15分）
（1）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（0，1）可得p=2
故所求的拋物線(xiàn)的方程為x2=4y…（3分）
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得過(guò)P的切線(xiàn)斜率k=y′|x=x1=
1
2
x1．
∴切線(xiàn)方程為y-y1=
1
2
x1(x-x1)．
∵準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1．
在切線(xiàn)方程中，令y=-1…（5分）
可得s=
x1
2
-
2
x1
．…（7分）
又s在[1，4]單調(diào)遞增
∴s的取值范圍是-
3
2
≤s≤
3
2
．…（10分）
（3）猜測(cè)直線(xiàn)PQ恒過(guò)點(diǎn)F（0，1）…（11分）
由題得P(x1，
x21
4
)，Q(x2，
x22
4
)，x1≠x2
要證點(diǎn)P、F、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，只需證kPF=kQF，即證x1x2=-4…（13分）
由（2）知s=
x1
2
-
2
x1
，同理得s=
x2
2
-
2
x2
，故
x1
2
-
2
x1
=
x2
2
-
2
x2

∴
x1-x2
2
=
2
x1
-
2
x2
=
2(x2-x1)
x1x2

∵x1≠x2
∴x1x2=-4
∵KPF=
x12-1
4
x1
=
x12-1
4x1
，KQF=
x22-1
4x2
=
(-
1
x1
)2-1
4(-
1
x1
)
=
1-x12
-4x1
=
x12-1
4x1
=KPF
從而可知點(diǎn)P、F、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，即直線(xiàn)PQ恒過(guò)點(diǎn)F（0，1）…（15分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率e=
1
2
，F(xiàn)1也是拋物線(xiàn)C1：y2=-4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，且2
DF2
=
F2E
，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G，求直線(xiàn)GD的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
4
+
y2
2
=1，過(guò)程P（1，1）作直線(xiàn)l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
1
2
，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，
3
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)且
AM
•
AN
=0，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得S△FMN=λS△AMN成立，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知點(diǎn)M（
3
，0），橢圓
x2
4
+y2=1與直線(xiàn)y=k（x+
3
）交于點(diǎn)A、B，則△ABM的周長(zhǎng)為（　　）
A．4B．8C．12D．16

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，
OB
=2
OA
，求直線(xiàn)AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在直線(xiàn)y=x-2上是否存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P能作出拋物線(xiàn)y=
1
2
x2的兩條互相垂直的切線(xiàn)？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞c＞0，a2=b2+c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b-c為半徑作圓F2，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為T(mén)，且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c)．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，圓F2與x軸的右交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)Q作斜率為k（k＞0）的直線(xiàn)l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線(xiàn)l被圓F2截得的弦長(zhǎng)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，過(guò)右焦點(diǎn)F且與x軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+t（t≠0）與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)AO平分線(xiàn)段MN，求△OMN的面積的最大值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．

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