在直線y=x-2上是否存在點(diǎn)P,使得經(jīng)過點(diǎn)P能作出拋物線y=
1
2
x2
的兩條互相垂直的切線?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
假設(shè)這樣的點(diǎn)P存在,由題意可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(m,m-2),又設(shè)所作的兩條切線為PA,PB,其中A,B為切點(diǎn),且點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為:A(a,
1
2
a2)
,B(b,
1
2
b2)

因?yàn)楹瘮?shù)y=
1
2
x2
的導(dǎo)函數(shù)為y'=x,
所以由兩切線垂直可得ab=-1,
且:
1
2
a2-(m-2)
a-m
=a
1
2
b2-(m-2)
b-m
=b
即,
a2-2ma+2(m-2)=0
b2-2mb+2(m-2)=0

故a,b是方程x2-2mx+2(m-2)=0的兩實(shí)數(shù)根,
從而有:ab=2(m-2)=-1.解得:m=
3
2

所以,存在這樣的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為P(
3
2
,-
1
2
)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),過點(diǎn)A(-a,0),B(0,b)的直線傾斜角為
π
6
,原點(diǎn)到該直線的距離為
3
2

(1)求橢圓的方程;
(2)斜率大于零的直線過D(-1,0)與橢圓交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),若
ED
=2
DF
,求直線EF的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù)k,直線y=kx+2交橢圓于P,Q兩點(diǎn),以PQ為直徑的圓過點(diǎn)D(-1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
4
+y2=1
,過點(diǎn)M(-1,0)作直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求AB中點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)求△OAB面積的最大值,并求此時(shí)直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),焦點(diǎn)F為(0,1),點(diǎn)P(x1,y1)是拋物線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線的切線交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)A(s,t).
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范圍.
(3)過點(diǎn)A作拋物線C的另一條切線AQ,其中Q(x2,y2)為切點(diǎn),試問直線PQ是否恒過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

過點(diǎn)A(0,2)可以作 ______條直線與雙曲線x2-
y2
4
=1
有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)點(diǎn)F(0,
3
2
)
,動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線y=-
3
2
相切.記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求曲線W的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F作互相垂直的直線l1,l2,分別交曲線W于A,B和C,D.求四邊形ACBD面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

若橢圓E1
x2
a21
+
y2
b21
=1
和橢圓E2
x2
a22
+
y2
b22
=1
滿足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m>0)
,則稱這兩個(gè)橢圓相似,m是相似比.
(Ⅰ)求過(2,
6
)
且與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1
相似的橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過原點(diǎn)的一條射線l分別與(Ⅰ)中的兩橢圓交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在線段OB上).
①若P是線段AB上的一點(diǎn),若|OA|,|OP|,|OB|成等比數(shù)列,求P點(diǎn)的軌跡方程;
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

【理科】拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)是圓x2+y2-4x=0的圓心.
(1)求拋物線的方程;
(2)直線l的斜率為2,且過拋物線的焦點(diǎn),與拋物線交于A、B兩點(diǎn),求弦AB的長;
(3)過點(diǎn)P(1,1)引拋物線的一條弦,使它被點(diǎn)P平分,求這條弦所在的直線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線y2=2px(p>0),其準(zhǔn)線方程為x=-1,過準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)M做直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)A為MB中點(diǎn),求直線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,當(dāng)AF⊥BF時(shí),求△ABF的面積.

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同步練習(xí)冊(cè)答案