Question

過拋物線y²=4x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，已知AB=8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求：△OAB的重心的橫坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出過焦點(diǎn)的直線方程代入拋物線方程消去x，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂，代入|AB|的表達(dá)式中即可求得k，進(jìn)而根據(jù)三個(gè)定點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得△OAB的重心的橫坐標(biāo)．

解答： 解：由題意知拋物線焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)過焦點(diǎn)F（1，0）的直線為y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入拋物線方程y²=4x消去y得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∵k²≠0，∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1．
∵|AB|

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[( 2(k2+2) k2 )2-4]

=8，
∴k²=1．
∴△OAB的重心的橫坐標(biāo)為x=

0+x1+x2

3

=2．
△OAB的重心的橫坐標(biāo)為2．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．常涉及直線與圓錐曲線聯(lián)立消元后利用韋達(dá)定理解決問題．