如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸,離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與軸垂直，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，，為垂足，延長(zhǎng)至，使得,連接并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于，為的中點(diǎn)

（1）求橢圓方程并證明點(diǎn)在以為直徑的圓上

（2）試判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

 


（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析


解析:

（1）由已知，所以，所以橢圓的方程為，,得證

（2）直線(xiàn)的斜率為，傾斜角∠，得∠∠，即直線(xiàn)的傾斜角為，所以直線(xiàn)的方程為，

令得，所以，，所以直線(xiàn)的斜率為，的斜率為，所以，即，

且點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以與圓相切于點(diǎn)

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2003•北京）如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）寫(xiě)出橢圓方程并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)y=k1x與橢圓交于C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0），直線(xiàn)y=k2x與橢圓次于G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）．求證：
k1x1x2
x1+x2
=
k1x3x4
x3+x4
；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，設(shè)CH交x軸于P點(diǎn)，GD交x軸于Q點(diǎn)，求證：|OP|=|OQ|
（證明過(guò)程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（03年北京卷理）（15分）

如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸與軸平行，短軸在軸上，中心（

（Ⅰ）寫(xiě)出橢圓方程并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于，（），直線(xiàn)與橢圓次于，（）．求證：；

（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的在，設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求證：（證明過(guò)程不考慮或垂直于軸的情形）

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年黑龍江高三上期末考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軸垂直，直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連接并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線(xiàn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿(mǎn)分12分）

如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軸垂直，直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連接并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線(xiàn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系．

 

 

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