Question

（2003•北京）如圖，已知橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）寫出橢圓方程并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線y=k₁x與橢圓交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0），直線y=k₂x與橢圓次于G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．求證：

k1x1x2

x1+x2

=

k1x3x4

x3+x4

；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，設(shè)CH交x軸于P點(diǎn)，GD交x軸于Q點(diǎn)，求證：|OP|=|OQ|
（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r），即可得橢圓方程，從而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)與離心率；
（Ⅱ）將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，可得

x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2k1r

；將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k2r

，由此可得結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P（p，0），點(diǎn)Q（q，0），由C、P、H共線，得p=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

；由D、Q、G共線，可得  
q=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

，由此可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：∵橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r），
∴橢圓方程為

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1
焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-

a2-b2

，r)，F2(

a2-b2

，r)
離心率e=

a2-b2

a

（Ⅱ）證明：將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2
整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根據(jù)韋達(dá)定理，得x1+x2=

2k1a2r

b2+a2k12

，x1x2=

a2r2-a2b2

b2+a2k12

，
所以  

x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2k1r

①
將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k2r

②
由 ①、②得   

k1x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2r

=

k2x3x4

x3+x4

所以結(jié)論成立
（Ⅲ）證明：設(shè)點(diǎn)P（p，0），點(diǎn)Q（q，0）
由C、P、H共線，得   

x1-p

x4-p

=

k1x1

k2x4

解得   p=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

由D、Q、G共線，同理可得   

x2-p

x3-p

=

k1x2

k2x3

∴q=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

由

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

變形得-

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查不等式的證明，認(rèn)真審題，細(xì)心計(jì)算是關(guān)鍵．