Question

已知A、B分別是直線(xiàn)和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為，P是AB的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（1，0）任意作直線(xiàn)l（與x軸不垂直），設(shè)l與（1）中軌跡C交于M、N，與y軸交于R點(diǎn)．若，，證明：λ+μ 為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得，利用，即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程代入橢圓方程，消去y并整理，利用韋達(dá)定理及，，可得，，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴                           …（2分）
∵A、B分別是直線(xiàn) 和 上的點(diǎn)，
∴ 和．
∴                                …（4分）
又，∴．                  …（5分）
∴，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為．      …（8分）
（2）依題意，直線(xiàn)l的斜率存在，故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）．
設(shè)M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，…（10分）
∴，①．    ②…（12分）
∵，∴（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]．
即，∴x₃=λ（1-x₃）．
∵l 與x 軸不垂直，∴x₃≠1，
∴，同理．                           …（14分）
∴λ+μ====-．
∴為定值．                  …（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定λ、μ的值是關(guān)鍵．