【題目】如圖,是圓柱的直徑,是圓柱的母線,,,點(diǎn)是圓柱底面圓周上的點(diǎn).
(1)求三棱錐體積的最大值;
(2)若,是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
【答案】(1);(2)4
【解析】
(1)三棱錐的高為定值,要根據(jù)三棱錐體積公式可知,要使得體積最大,就要底面積最大,又因?yàn)檫?/span>為定值,故當(dāng)到的距離取得最大值時(shí),底面積最大,故此時(shí)棱錐的體積最大;
(2)反向延長(zhǎng)至,使得三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線時(shí),距離最短,則為最小值.
(1)三棱錐高,,點(diǎn)到的最大值為底面圓的半徑,
則三棱錐體積的最大值等于.
(2)將繞著旋轉(zhuǎn)到使其共面,且在的反向延長(zhǎng)線上,連接,與的交點(diǎn)為,此時(shí)最小,為;
由,,且易知,由勾股定理知,因?yàn)?/span>,所以,則,;
,則是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,故,所以的最小值等于4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)在上的圖象;
(2)若為奇函數(shù),求;
(3)在(2)的前提下,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科學(xué)家發(fā)現(xiàn)某種特別物質(zhì)的溫度(單位:攝氏度)隨時(shí)間(時(shí)間:分鐘)的變化規(guī)律滿足關(guān)系式:(,).
(1)若,求經(jīng)過多少分鐘,該物質(zhì)的溫度為5攝氏度;
(2)如果該物質(zhì)溫度總不低于2攝氏度,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面,正方形的邊長(zhǎng)為2,,設(shè)為側(cè)棱的中點(diǎn).
(1)求正四棱錐的體積;
(2)求直線與平面所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在雙曲線(,)上,且雙曲線的一條漸近線的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn),若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),其中,為個(gè)互不相同的有限集合,滿足對(duì)任意、,均有.若(表示有限集合的元素個(gè)數(shù)),證明:存在,使得屬于中的至少個(gè)集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、為平面上的兩個(gè)定點(diǎn),且,該平面上的動(dòng)線段的端點(diǎn)、,滿足,,,則動(dòng)線段所形成圖形的面積為( )
A.36B.60C.72D.108
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣axlnx.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在x=1處的切線方程;
(2)證明:對(duì)于a∈(0,e),函數(shù)f(x)在區(qū)間()上單調(diào)遞增.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年8月8日是我國(guó)第十個(gè)全民健身日,其主題是:新時(shí)代全民健身動(dòng)起來。某市為了解全民健身情況,隨機(jī)從某小區(qū)居民中抽取了40人,將他們的年齡分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖。
(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值;
(2)(i)若從樣本中年齡在[50,70)的居民中任取2人贈(zèng)送健身卡,求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率;
(ⅱ)已知該小區(qū)年齡在[10,80]內(nèi)的總?cè)藬?shù)為2000,若18歲以上(含18歲)為成年人,試估計(jì)該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)。
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