Question

對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算?：a?b=設(shè)函數(shù)f（x）=（x²-x+1）?（2x-1），其中x∈R
（I）求f（）的值；
（II）若1≤x≤2，試討論函數(shù)h（x）=（t∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）由x²-x+1≤2x-1，即x²-3x+2≤0，解得：1≤x≤2，此時(shí)f（x）=x²-x+1；
由x²-x+1＞2x-1，即x²-3x+2＞0，解得：x＜1或x＞2．
∴．
∴．
（Ⅱ）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=x²-x+1，
==．
令，
則函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=-t的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
由g^′（x）=2x²-x-1=（2x+1）（x-1）．
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g^′（x）＞0，∴g（x）在（1，2）上單調(diào)遞增．
又，．
∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)h（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)h（x）沒有零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)h（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，函數(shù)h（x）沒有零點(diǎn)．
分析：（Ⅰ）通過求解不等式得到x²-x+1≤2x-1和x²-x+1＞2x-1的x的取值范圍，從而寫出分段函數(shù)f（x），直接代入后可求f（）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=（t∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求函數(shù)與函數(shù)y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，把函數(shù)f（x）的解析式代入后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值點(diǎn)的情況，根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的情況可得函數(shù)與函數(shù)y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到函數(shù)h（x）=（t∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是該函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的根的個(gè)數(shù)，此類問題往往轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來解決，是中檔題．