Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F₂的直線l₁與C₁交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₁的周長(zhǎng)為，l₁的傾斜角為α．
（I）當(dāng)l₁垂直于x軸時(shí)，
①求橢圓C₁的方程；
②求證：對(duì)于?α∈[0，π），總有．
（II）在（I）的條件下，設(shè)直線l₂與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且OC⊥OD，過(guò)O作l₂的垂線交l₂于E，求E的軌跡方程C₂，并比較C₂與C₁通徑所在直線的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得，，當(dāng)斜率不存在時(shí)，l₁：x=c，，；當(dāng)時(shí)，設(shè)l₁：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由焦半徑公式可得，，故．由此能導(dǎo)出對(duì)于?α∈[0，π），總有．
（II）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l₂：y=tx+b，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），，，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
解答：解：（I）①由題意可得，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，l₁：x=c
故，
②當(dāng)時(shí)，設(shè)l₁：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由焦半徑公式可得，
故，
，
故
故成立
當(dāng)時(shí)，由題意成立
故對(duì)于?α∈[0，π），總有．
（II）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l₂：y=tx+b，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
△＞0⇒2t²-b²+1＞0
故，
原點(diǎn)O到l₂的距離為為定值
故E的軌跡方程為，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，解得或均在E上
綜上可得，E的軌跡方程C₂為，
C₁通徑所在的方程為x=±1
故兩者相離．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì)，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．